Теорема косинусов

Теорема косинусов — одна из теорем геометрии, гласит:

Квадрат любой стороны треугольника (a) равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (b и c), минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла (α) между ними.

a2 = b2 + c2 − 2bccosα.


Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

AD = b \cos \, \alpha,
DB = c - b \cos \, \alpha

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

h^2 = b^2 - (b \cos \, \alpha)^2 \qquad \qquad \qquad(1)
h^2 = a^2 - (c - b \cos \, \alpha)^2 \qquad \qquad (2)

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

b^2 - (b \cos \, \alpha)^2 = a^2 - (c - b \cos \, \alpha)^2

или

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \, \alpha.

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания) полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \, \beta
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \, \gamma.

См. также

Теорема синусов

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home