Сходимость по мере

Сходи́мость по ме́ре (по вероя́тности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах - это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве).

Определение

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) - пространство с мерой. Пусть f_n,f:X \to \mathbb{R}^m,\; n=1,2,\ldots - измеримые функции на этом пространстве. Говорят, что последовательность функций \{f_n\}_{n=1}^{\infty} сходится по мере к функции f, если

\forall \varepsilon > 0, \; \lim\limits_{n \to \infty}\mu(\{x \in X \mid \|f_n(x) - f(x)\|>\varepsilon\}) = 0.

Обозначение: f_n \to^{\!\!\!\!\!\! \mu} f.

В терминах теории вероятностей, если дано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) с определёнными на нём случайными величинами X_n,X,\; n=1,2,\ldots, то говорят, что \{X_n\}_{n=1}^{\infty} сходится по вероятности к X, если

\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0.

Обозначение: X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} X.

Замечание

Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений (случайных элементов), принимающих значения в произвольном метрическом пространстве.

Свойства сходимости по мере

  • Если последовательность функций fn сходится по мере к f, то у неё существует подпоследовательность f_{n_k}, сходящаяся к f μ-почти всюду.
  • Если последовательность функций fn сходится по мере к f, и \forall n \in \mathbb{N},\; |f_n| \le g, где g \in L^p,\; p \ge 1, то f_n, f \in L^p, и fn сходится к f в Lp.
  • Если последовательность функций fn сходится μ-почти всюду к f, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
  • Если последовательность функций fn сходится в Lp к f, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
  • Если последовательность случайных величин Xn сходится по вероятности к X, то она сходится к X и по распределению.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home