Симплекс

Симплекс или n-симплекс это геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника. Определяется как выпуклая оболочка n+1 точек, не лежащих в одной n-мерной гиперплоскости. Эти точки называются вершинами симплекса. В частности:

Выпуклая оболочка любых m из n точек сама является симплексом и называется m-гранью симплекса. 0-грани это вершины, 1-грани это рёбра, n-1-грани называют просто гранями.

Стандартный симплекс

Стандартный n-симплекс это подмножество \mathbb{R}^{n+1}, определяемое как:

\Delta^n=\{(t_0,\dots t_n)\;|\;\sum_i t_i = 1 \and \forall i\, t_i\ge 0\}

Его вершинами являются точки:

e0=(1, 0, … 0)
e1=(0, 1, … 0)
en=(0, 0, … 1)

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс с координатами вершин (v_0, v_1,\dots v_n):

(t_0,\dots t_n) \to \sum_i t_i v_i

Значения ti для данной точки называются её барицентрическими координатами.

Геометрические свойства

Симплекс называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину: например, правильный треугольник или правильный тетраэдр. Правильный симплекс всегда является правильным политопом.

Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле:

V=\frac{1}{n!} \det(v_1-v_0, v_2-v_0, \dots, v_n-v_0)

Определитель Кэли-Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:

V^2 = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n (n!)^2} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\ 1 & d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ 1 & d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\ \vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 1 & d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}

где dij = | vivj | — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула — обобщение формулы Герона для треугольников.

Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен \frac{\sqrt{n+1}}{n!\, 2^{n/2}}

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home