Теорема Банаха о неподвижной точке

Теорема Банаха о неподвижной точке гарантирует наличие и единственность неподвижной точки у некоторых отображениях метрических пространств. Также она содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего ее в 1922 году.

Теорема

Пусть (X,d) — непустое полное метрическое пространство. Пусть T: X \mapsto X — сжимающее отображение на X, т.е. существует число 0 \le q <1 такое, что

d(Tx,Ty) \le q\cdot d(x,y)

для всех x, y из X. Тогда у отображения T существует, и притом ровно одна неподвижная точка x* из X (неподивжная означает Tx* = x*). Более того, эта точка может быть построена следующим образом: начнем с произвольного элемента x0 их X, и определим рекурентную последовательность по формуле xn = Txn-1 для всех n = 1, 2, 3, ... Эта последовательность сходится, и ее предел равен x*. Следующее неравенство показвает скорость схождения:

d(x^*, x_n) \leq \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0).

Равносильно:

d(x^*, x_{n+1}) \leq \frac{q}{1-q} d(x_{n+1},x_n)

и

d(x^*, x_{n+1}) \leq q d(x_n,x^*).

Число q часто называют коэффициентом сжатия.

Применение

Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов уравнений. Также теорема нашла применение в теории фракталов.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home