Фильтр (математика)

Фильтр — подмножество решётки, удовлетворяющее определённым условиям. Понятие происходит из общей топологии, где возникают фильтры на решётке всех подмножеств какого-либо множества, упорядоченных отношением включения. Фильтр — понятие, двойственное идеалу.

Содержание

Определение в рамках теории решёток

Подмножество F решётки L называется фильтром, если

  • для всех a,b \in F, a \land b \in F
  • для всех a \in F и b таких, что a \leq b, b \in F

Фильтр называется собственным, если F \neq L.

Собственный фильтр такой, что не существет собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром или максимальным фильтром.

Фильтр F называется простым, если в нём для всех a,b \in F из того, что a \lor b \in F, следует, что либо a \in F, либо b \in F.

Минимальный фильтр, содержащий данный элемет x называется главным фильтром сгенерированным главным элементом x.

Если F фильтр, то L \backslash F является идеалом.

Фильтры на множествах

Частным случаем фильтра является фильтр на множестве. Для каждого множества X можно определить решётку его подмножеств (P(X),\subseteq). Тогда фильтр F на X определяестя как подмножество P(X) удовлетворяющее следующим условиям:

  • \emptyset \notin F
  • пересечение любых двух элементов F лежит в F
  • надмножество любого элемента F лежит в F

Фильтр вида \{Y \subseteq X \mid Z \subseteq Y\} называется фильтром, сгенерированным множеством Z. Фильтр, сгенерированный множеством из одного элемента, называется главным. Главный фильтр является ультрафильтром.

Примеры

  • множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром.
  • если X бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется коконечным фильтром или фильтром Фреше.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home