Статистика Ферми — Дирака

В статистической физике, Статистика Ферми—Дирака — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу запрета Паули, то есть, одно и то же квантовое состояние может занимать не более одной частицы); определяет статистическое распределение фермионов по энергетическим уровням системы, находящейся в термодинамическом равновесии; предложена в 1926 г. итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил ее квантово-механический смысл; позволяет найти вероятность, с которой фермион занимает данный энергетический уровень.

Работы по статистике Ф-Д были опубликованы в 1926, а в 1927 она была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

В статистике Ф-Д среднее число частиц в состоянии с энергией εi есть

n_i = \frac{g_i}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k T} + 1}

где:

n_i \ — среднее число частиц в состоянии i,
\epsilon_i \ — энергия состояния i,
g_i \ — кратность вырождения состояния i (число состояний с энергией \epsilon_i \),
μхимический потенциал (который равен энергии Ферми E_F \ при абсолютном нуле температуры),
kпостоянная Больцмана,
T — абсолютная температура.

В (идеальном) ферми-газе \mu = E_F \. В этом случае (полагая уровни энергии невырожденными g_i = 1 \), функция распределения частиц называется функцией Ферми:

F(E) = \frac{1}{e^{(\epsilon_i-E_F) / k T} + 1}

Содержание

Использование

Статистики Ферми-Дирака и Бозе — Эйнштейна применяются в том случае, когда необходимо учитывать квантовые эффекты, когда частицы обладают «неразличимостью». Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц (N/V) ≥ nq (где nq — квантовая концентрация). Квантовая концентрация — это концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть когда волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры. Статистика Ферми — Дирака (Ф-Д) применяется к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), статистика Бозе — Эйнштейна (Б-Э) применяется к бозонам. Оба этих распределения становятся распределением Максвелла — Больцмана при высоких температурах и низких концентрациях.

Распределением Максвелла — Больцмана часто описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурация частицы A в состоянии 1 и частицы B в состоянии 2 отличается от конфигурации частицы B в состоянии 1 и частицы A в состоянии 2. Когда эта идея была проработана полностью, оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим релультатам для энтропии, что известно, как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы. И Ф-Д, и Б-Э приближаются к статистике Максвелла-Больцмана в пределе высоких температур и низких плотностей. Статистика Максвелла-Больцмана хорошо описывает поведение газов. Ф-Д часто используется для описания электронов в твердых телах, на ней, к примеру, базируются основные положения теории полупроводников в частности и электроники в целом.

Вывод распределения

Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Энергия такой частицы равна \mathbf{\epsilon}. Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля, функция распределения имеет вид

Z \;= \sum_s e^{ -( E(s) - \mu N(s) ) / kT}

где

E(s) \ — энергия состояния s,
N(s) \ — число частиц, находящихся в состоянии s,
μ - химический потенциал,
s — это индекс, пробегающий все возмножные микросостояния системы.

В данном контексте, система имеет фиксированные состояния. Итак, если какое либо состояние занято n частицами, то энергия системы — n \cdot \epsilon. Если состояние свободно, то энергия имеет значение 0. Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар. После того, как система и резервуар займут одно и тоже физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.

Для фермионов, каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся s1 and s2 соответственно. Видно, что E(s_1) = \; \epsilon, N(s_1) = \; 1, и E(s_2) = \; 0, N(s_2) = \; 0. Поэтому функция распределения принимает вид:

Z = \sum_{i = 1} ^2 e^{ -( E(s_i) - \mu N(s_i) ) / kT} = e^{ -( \epsilon - \mu ) / kT} + 1.

Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии sα вычисляется по формуле

P( s_{\alpha} ) = \frac{e^ {-( E(s_{\alpha}) - \mu N(s_{\alpha})} }{Z}.

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии s1, вероятность которого

\bar{n} = P( s_1 ) = \frac{ e^{ -( E(s_1) - \mu N(s_1) ) / kT} }{Z} = \frac{e^{ -( \epsilon - \mu ) / kT}}{e^{ -( \epsilon - \mu)/ kT} + 1} = \frac{1}{e^{ ( \epsilon - \mu)/ kT} + 1}.


\bar{n} называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры T, \bar{n}(\epsilon) есть вероятность того, что состояние с энергией ε будет занято фермионом. Обратите внимание, что \bar{n} является убывающей функцией от ε. Это соответствует нашим ожиданиям: высокоэнергетические состояния занимаются с меньшей вероятностью.

Обратите внимание, что энегетический уровень ε имеет вырождение \; g_{\epsilon}. Теперь можно произвести простую модификацию:

\bar{n} = g_{\epsilon} \cdot \frac{1}{e^{ ( \epsilon - \mu)/ kT} + 1}.

Это число — ожидаемое число частиц, в суммарном состоянии с энергией ε.

Для всех температур T, \bar{n}(\mu) = \frac{1}{2}. Это означает, что состояния с энергией μ всегда будут иметь одинаковую вероятность быть заполнеными или свободными.

В пределе T \rightarrow 0, \bar{n} становится ступенчатой функцией (см. первый график). Все состояния с энергией меньше химического потенциала μ будут заняты с вероятностью 1. Состояния с энергией выше химического потенциала μ будут свободны. Химический потенциал при нулевой температуре — энергия Ферми, обозначается EF, то есть

E _F = \; \mu(T = 0).

Заметим также, что химический потенциал зависит от температуры. Однако, для систем, имеющих температуру ниже температуры Ферми T_F = \frac{ E _F }{k}, что часто используется, как аппроксимация \mathbf{\mu}\; E_F .

Другой вывод

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home