Гамильтонова механика

Гамильто́нова меха́ника является переформулировкой классической механики. Была создана в 1833 Уильямом Гамильтоном. Она возникла из лагранжевой механики, другой формулировки классической механики, введенной Лагранжем в 1788. Гамильтонова механика может быть сформулирована без привлечения лагранжевой механики с использованием симплектических многообразий.

Переформулировка лагранжевой механики

Начинаем с лагранжевой механики, уравнения движения в которой основаны на обобщённых координатах

\left\{\, q_j | j=1, \ldots,N \,\right\}

и соответствующих обобщённых скоростях

\left\{\, \dot{q}_j | j=1, \ldots ,N \,\right\}.

Лагранжиан запишется в виде

L(q_j, \dot{q}_j, t)

с индексом, который представляет все N переменных этого типа. Гамильтонова механика ставит своей целью заменять обобщённые скорости обобщёнными переменными импульса, также известными как сопряжённые импульсы. Таким образом можно упростить определённые системы, например, в квантовой механике, которая иначе была бы ещё более сложной.

Для каждой обобщённой скорости существует соответствующий ей сопряжённый импульс, определённый как

p_j = {\partial L \over \partial \dot{q}_j}.

В декартовых координатах обобщённые импульсы — это физические линейные импульсы. В полярных координатах обобщённый импульс, соответствующий угловой скорости — физический угловой момент. Для произвольного выбора обобщённых координат невозможно получить интуитивную интерпретацию сопряжённых импульсов.

В этой формулировке, зависящей от выбора системы координат, не слишком очевиден тот факт, что различные обобщённые координаты являются в действительности не чем иным, как различными координатизациями одного и того же симплектического многообразия.

Гамильтониан — преобразование Лежандра лагранжиана:

H\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q_j,\dot{q}_j,t).

Если уравнения преобразования, определяющие обобщённые координаты, независимы от t, можно показать, что H равен полной энергии E = T + V.

Полный дифференциал гамильтониана запишется в виде:

\begin{matrix} dH &=& \sum_i \left[ \left({\partial H \over \partial q_i}\right) dq_i + \left({\partial H \over \partial p_i}\right) dp_i \right] + \left({\partial H \over \partial t}\right) dt\qquad\qquad\quad\quad \\ \\ &=& \sum_i \left[ \dot{q}_i\, dp_i + p_i\, d\dot{q}_i - \left({\partial L \over \partial q_i}\right) dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q}_i}\right) d\dot{q}_i \right] - \left({\partial L \over \partial t}\right) dt \end{matrix}

Подставляя предыдущее определение сопряжённых импульсов в это уравнение и сравнивая коэффициенты, мы получаем уравнения движения гамильтоновой механики, известные как канонические уравнения Гамильтона:

{\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad {\partial H \over \partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad {\partial H \over \partial t } = - {\partial L \over \partial t}

Уравнения Гамильтона представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка, и, таким образом, их легче решать, чем уравнения Лагранжа, которые являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Однако шаги, приводящие к уравнениям движения, более трудоёмки, чем в лагранжевой механике — начиная с обобщённых координат и функции Лагранжа, мы должны вычислить гамильтониан, выразить каждую обобщённую скорость в терминах сопряжённых импульсов и заменить обобщённые скорости в гамильтониане сопряжёнными импульсами. В целом, есть небольшой выигрыш в работе от решения проблемы в гамильтоновом, а не в лагранжевом формализме, хотя в конечном счете это приводит к тем же решениям, что и лагранжева механика и законы движения Ньютона.

Основное предназначение гамильтонова подхода — то, что он обеспечивает основу для более фундаментальных результатов в классической механике.

Математический формализм

Любая гладкая функция H из R на симплектическом многообразии может использоваться, чтобы определить гамильтонову систему. Функция H известна как гамильтониан или энергетическая функция. Симплектическое многообразие называют фазовым пространством. Гамильтониан порождает специальное векторное поле на симплектическом многообразии, известном как симплектическое векторное поле.

Cимплектическое векторное поле (также наывается гамильтоновым векторным полем) порождает гамильтонов поток на многообразии. Интегральные кривые векторного поля являются однопараметрическим семейством преобразований многообразия с параметром, называемым время. Эволюция во времени задаётся симплектоморфизмами. Из теоремы Лиувилля следует, что каждый симплектоморфизм сохраняет форму объёма в фазовом пространстве. Множество симплектоморфизмов, порождаемых гамильтоновым потоком, обычно называют гамильтоновой механикой гамильтоновой системы.

Гамильтоново векторное поле также порождает специальную операцию — скобка Пуассона. Скобка Пуассона действует на функции на симплектическом многообразии, таким образом придавая пространству функций на многообразии структуру алгебры Ли.

В частности для данной функции f

\frac{d}{dt} f=\frac{\partial }{\partial t} f + \{\,f,H\,\}.

Если мы имеем распределение вероятности ρ, то можно показать, что его конвективная производная равняется нулю, так как скорость фазового пространства ({\dot p_i} , {\dot q _i}) имеет нулевую дивергенцию, и вероятность сохраняется. Получим

\frac{\partial}{\partial t} \rho = - \{\,\rho ,H\,\}.

Это выражение называют теоремой Лиувилля. Каждая гладкая функция G над симплектическим многообразием задаёт семейство однопараметрических симплектоморфизмов, и если { G, H } = 0, то G сохраняется и симплектоморфизмы являются симметричными преобразованиями.

Интегрируемость гамильтоновых векторных полей — нерешённый вопрос. Вообще, гамильтоновы системы — хаотичны; понятия меры, полноты, интегрируемости и стабильности плохо определены. В настоящее время исследование динамических систем — прежде всего качественная, а не количественная наука.

Внешние ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home