Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры \lambda > 0 \, - интенсивность или обратный коэффициент масштаба
Носитель x \in [0;\infty)\!
Плотность вероятности λe − λx
Функция распределения 1 − e − λx
Математическое ожидание \lambda^{-1}\,
Медиана \ln(2)/\lambda\,
Мода 0\,
Дисперсия \lambda^{-2}\,
Коэффициент асимметрии 2\,
Коэффициент эксцесса 6\,
Информационная энтропия 1 - \ln(\lambda)\,
Производящая функция моментов \left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,
Характеристическая функция \left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,

Экспоненциальное распределениеабсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Содержание

Определение

Случайная величина X имеет экспоненциальное распределение с параметром λ > 0, если её плотность имеет вид

f_X(x) = \left\{\begin{matrix} \lambda \,e^{-\lambda x} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right..

Иногда семейство экспоненциальных распределений параметризуют обратным параметром 1 / λ:

f_X(x) = \left\{\begin{matrix} {1 \over \lambda} \,e^{-{ x \over \lambda}} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right..

Оба способа одинаково естественны, и необходима лишь договорённость, какой из них используется.

Пример. Пусть есть магазин, в который от времени к времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экпоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно 1 / λ. Сам параметр λ тогда может быть интерпретирован, как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины X задана первым уравнением, и будем писать: X \sim \mathrm{Exp}(\lambda).

Функция распределения

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

F_X(x) = \left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.

Моменты

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

\mathrm{M}_X(t) = \left(1 - {t \over \lambda}\right)^{-1},

откуда получаем все моменты:

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{n!}{\lambda^n}.

В частности,

\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda},
\mathrm{D}[X] = \frac{1}{\lambda^2}.

Отсутствие памяти

Пусть X \sim \mathrm{Exp}(\lambda). Тогда \mathbb{P}(X > s+t \mid X > s) = \mathbb{P}(X > t).

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.

Связь с другими распределениями

  • Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть X_1, \ldots, X_n независимые случайные величины, и X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda_i). Тогда
Y = \min\limits_{i=1,\ldots,n}(X_i) \sim \mathrm{Exp}\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right).
\mathrm{Exp}(\lambda) \equiv \Gamma(1, \lambda).
  • Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет Гамма распределение. Пусть X_1, \ldots, X_n независимые случайные величины, и X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda). Тогда
Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma(n, \lambda).
X = - \frac{1}{\lambda} \ln U \sim \mathrm{Exp}(\lambda).
\mathrm{Exp}(2) \equiv \chi^2(2).
Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home