Пространство Lp

Пространства Lp (читается «эль-пэ») — это пространства измеримых функций таких, что их p-я степень интегрируема, где p \ge 1. Lp — важнейший класс банаховых пространств. В дополнение, L2 (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Содержание

Построение пространства Lp

Определение 1. Пусть дано пространство с мерой (X,\mathcal{F},\mu). Фиксируем 1 \leq p < \infty и рассмотрим множество измеримых функций, определенных на этом пространстве, таких что

\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) < \infty.

Обозначим это множество \mathcal{L}^p(X,\mathcal{F},\mu) или просто \mathcal{L}^p.

Теорема 1. Пространство \mathcal{L}^p(X,\mathcal{F},\mu) линейно. Доказательство следует из элементарных свойств интеграла Лебега, а также неравенства Минковского.

На этом линейном пространстве можно ввести полунорму:

\|f\|_p = \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) \right) ^{\frac{1}{p}}.

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы.

Замечание 1. Введённая таким образом полунорма не является нормой, ибо если f(x) = 0 почти всюду, то \|f\|_p = 0, что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с полунормой в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве меры нуль.

Определение 2. Введём на \mathcal{L}^p отношение эквивалентности. Будем говорить, что f \sim g, если f(x) = g(x) п.в.

Это отношение разбивает пространство \mathcal{L}^p на непересекающиеся классы эквивалентности, причём:

  • полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают;
  • полунормы любых представителей разных классов различаются.

Тогда на построенном фактор-пространстве (то есть семействе классов эквивалентности) \mathcal{L}^p/\sim можно ввести норму равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Определение 3. Фактор-пространство \left(\mathcal{L}^p/\sim, \|\cdot\|_p\right) с построенной на нём нормой называется пространством L^p(X,\mathcal{F},\mu) или просто Lp.

Замечание 2. Чаще всего вышеизложенное построение имеют в виду, но не упоминают явно. Тогда элементами Lp называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, «определённые с точностью до меры нуль».

Полнота пространства Lp

Введённая выше норма вместе с линейной структурой порождает метрику

d(f,g) = \|f-g\|_p,

а следовательно и понятие сходимости.

Определение 3. Пусть есть последовательность функций \{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p. Тогда эта последовательность сходится к функции f\in L^p, если

\|f_n-f\|_p \to 0 при n \to \infty.

Теорема 2. Пространство Lp полно, то есть любая фундаментальная последовательность в Lp сходится к элементу этого же пространства. Таким образом Lpбанахово пространство.

Пространство L²

В случае p = 2 введённая выше норма порождается скалярным произведением. Таким образом вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, таких как ортогональность, проекция и пр.

Определение 4. Введём на пространстве L2 скалярное произведение следующим образом:

\langle f,g \rangle = \int\limits_X f(x) \,\overline{g(x)}\, \mu(dx),

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные или

\langle f,g \rangle = \int\limits_X f(x) \,{g(x)}\, \mu(dx),

если они вещественные. Тогда, очевидно,

\|f\|_2 = \sqrt{\langle f, f \rangle},

то есть норма порождается скалярным произведением. Используя это вместе с результатом о полноте любого Lp, заключаем, что имеет место

Теорема 3. Пространство L2 гильбертово.

Пространство L

Рассмотрим пространство \mathcal{L}^{\infty}(X,\mathcal{F},\mu) измеримых функций, ограниченных почти всюду. Отождествив между собой функции, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению

\|f\|_{\infty} = \mathrm{ess } \sup\limits_{x\in X} |f(x)|,

мы получаем полное нормированное, то есть банахово пространство.

Метрика, порождаемая этой нормой, называется равномерной. Так же назывется и сходимость, порождённая такой метрикой:

f_n \to f в L^{\infty}, если \mathrm{ess} \sup\limits_{x \in X} |f_n(x)-f(x)| \to 0 при n \to \infty.

Свойства пространств Lp

  • Сходимость функций почти всюду влечёт сходимость в пространстве Lp. Пусть f_n,f\in L^p, и f_n \to f п.в. Тогда \|f_n-f\|_p \to 0 при n \to \infty. Обратное, вообще говоря, неверно.
  • Если \|f_n-f\|_p \to 0 при n\to \infty, то существует подпоследовательность f_{n_k}, такая что f_{n_k} \to f п.в.
  • Lp функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть L^p_{C^{\infty}}(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m) — подмножество L^p(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m), состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда L^p_{C^{\infty}} всюду плотно в Lp.
  • L^p(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m)сепарабельно.
  • Если μ — конечная мера, например, вероятность, и 1 \leq p \leq q \leq \infty, то L^q \subset L^p. В частности, L^2 \subset L^1, то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Пространства сопряжённые к Lp

Пусть \left(L^p\right)^{\star} есть пространство сопряжённое к Lp (т.н. ко-пространство). По определению, элемент g \in \left(L^p\right)^{\star} является линейным функционалом на Lp.

Теорема 4. Если 1 < p < \infty, то \left(L^p\right)^{\star} изоморфно Lq (пишем \left(L^p\right)^{\star} \cong L^q), где 1 / p + 1 / q = 1. Любой линейный функционал на Lp имеет вид:

g(f) = \int\limits_X f(x)\, \tilde{g}(x)\, \mu(dx),

где \tilde{g}(x)\in L^q.

В силу симметрии уравнения 1 / p + 1 / q = 1, само пространство Lp дуально (с точностью до изоморфизма) к Lq, а следовательно:

\left(L^p\right)^{\star \star} \cong L^p.

Этот результат справедлив и для случая p = 1, то есть \left(L^1\right)^{\star} = L^{\infty}. Однако, \left(L^{\infty}\right)^{\star} \not\cong L^1 и, в частности, \left(L^1\right)^{\star \star} \not\cong L^1.

Пространства lp, 1 ≤ p ≤ ∞

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) = \left(\mathbb{N}, 2^{\mathbb{N}}, m\right), где mсчётная мера на \mathbb{N}, то есть m(\{n\}) = 1,\; \forall n \in \mathbb{N}. Тогда если p<\infty, то пространство L^p\left(\mathbb{N}, 2^{\mathbb{N}}, m\right) представляет собой семейство последовательностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких что

\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p < \infty.

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

\|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x|^p\right)^{\frac{1}{p}}.

Получившееся нормированное пространство обозначается lp.

Если p=\infty, то мы рассматриваем пространство ограниченных последовательностей с нормой

\|x\|_{\infty} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}}|x_n|.

Получившееся пространство называется l^{\infty}. Оно является примером не сепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив p = 2, мы получаем гильбертово пространство l2, чья норма порождена скалярным произведением

\langle x,y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n \overline{y_n},

если последовательности комплекснозначные, и

\langle x,y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n {y_n},

если они вещественны.

Пространство, дуальное к lp, где 1 \leq p < \infty изоморфно lq, 1 / p + 1 / q = 1.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home