Скалярное произведение

Скаля́рное произведе́ние — это функция \langle\cdot,\cdot\rangle, в линейном пространстве L над полем P вещественных или комплексных чисел, отображающая L \times L в P и обладающая следующими свойствами:

  1. \forall x, y, z \in L \ \forall \alpha, \beta \in P, \ \langle\alpha x + \beta y,z\rangle = \alpha \langle x,z\rangle + \beta \langle y,z\rangle (линейность по первому аргументу)
  2. \forall x, y \in L \ \langle x, y\rangle = \overline{\langle y, x\rangle} (эрмитова симметричность) (таким образом \langle x, x\rangle - всегда вещественное число)
  3. \forall x \in L \ \langle x, x\rangle \ge 0, причём \langle x, x\rangle = 0 \Rightarrow x = 0 (положительная определённость)

Скалярное произведение порождает норму в L следующим образом: ||x|| = \sqrt{\langle x,x\rangle}. Эта норма связана с порождающим его скалярным произведением неравенством Коши — Буняковского.

Содержание

Пример

В пространстве \mathbb R^n n-компонентных векторов над полем вещественных чисел \mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n), x_i \in \mathbb R можно определить скалярное произведение так: \langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i. Пространство \mathbb R^n с введённым таким образом скалярным произведением становится Евклидовым пространством.

Скалярное произведение в евклидовом пространстве

Определение 1

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

\vec a \vec b = |\vec a| |\vec b| \cos \phi

Определение 2

Скалярным произведением двух векторов назывется число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов:

\vec a \vec b = |\vec b| Pr_{\vec b} \vec a

Геометрические свойства скалярного произведения

  • Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
  • Два ненулевых вектора a и b составляют острый(тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно(отрицательно)

Алгебраические свойства скалярного произведения

  • \vec a \vec 0 = \vec 0 \vec a = 0 (нулевой вектор)
  • \vec a \vec b = \vec b \vec a (переместительное свойство)
  • (\alpha \vec a) \vec b = \alpha (\vec a \vec b) (сочетательное свойство)
  • (\vec a + \vec b) \vec c = \vec a \vec c + \vec b \vec c (распределительное свойство)
  • \vec a \vec a = 0, если a - нулевой вектор, \vec a \vec a > 0, если a - ненулевой вектор
  • (\vec a \times \vec b) (\vec c \times \vec d) = \begin{vmatrix} \vec a \vec c && \vec a \vec d \\ \vec b \vec c && \vec b \vec d \end{vmatrix} (скалярное произведение двух векторных произведений)

Выражение скалярного произведения в декартовых координатах

Если два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами

\vec a = \left\{ X_1, Y_1, Z_1 \right\},

\vec b = \left\{ X_2, Y_2, Z_2 \right\},

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е.

\vec a \vec b = X_1 X_2 + Y_1 Y_2 + Z_1 Z_2

См. также


Эта статья или раздел нуждается в переработке.
Пожалуйста, улучшите её в соответствии с правилами написания статей.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home