Лагранжиан

Лагранжиа́н, функция Лагранжа \mathcal {L} [\varphi_i] динамической системы, названа в честь Жозефа Лагранжа, является функцией динамических переменных \ \varphi_i (s) и описывает уравнения движения системы. Уравнения движения в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как

\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0

где действиефункционал \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns},

{}{}{}{}\ s_\alpha обозначает множество параметров системы.

Уравнения движения, полученные посредством функциональной производной, идентичны обычным уравнениям Эйлера-Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения движения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известна как лагранжевые динамические системы. Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии Стандартной Модели в физике элементарных частиц и заканчивая уравнениями Ньютона в классической механике. Также к ним относятся чисто математические проблемы, такие как уравнения геодезических и проблема Плато.

Содержание

Пример из классической механики

Понятие функции Лагранжа было первоначально введено для переформулировки классической механики в виде, известном как лагранжева механика. В этом контексте функция Лагранжа обычно берётся в виде разности кинетической и потенциальной энергии механической системы.

Пусть размерность пространства равна трём и функция Лагранжа записана в виде

\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x}),

где производная по времени обозначается точкой над дифференцируемой величиной, \vec{x} — радиус-вектор частицы, m — её масса и V — потенциальная энергия. Тогда уравнение Эйлера-Лагранжа будет: m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0, где \nablaградиент.

Используя этот результат, можно легко показать, что этот подход эквивалентен подходу Ньютона. Запишем силу F в терминах потенциала \vec{F}=- \nabla V(x), тогда мы получим уравнение \vec{F}=m\ddot{\vec{x}}, которое аналогично уравнению Ньютона с постоянной массой. Простые вычисления приведут нас к выражению \vec{F}=d\vec{p}/dt, которое является вторым законом Ньютона в его обобщённой форме.

Для трёхмерной системы со сферическими координатами r, θ, φ с лагранжианом

\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r)

можно получить следующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,
\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,
\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.

Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля

В теории поля сделано различие между лагранжианом L, действие которого задаётся интегралом по времени

S = \int{L \, dt}

и плотностью лагранжиана \mathcal{L}, которую нужно интегрировать по всему фазовому пространству:

S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, d^4x}

Тогда лагранжиан — это интеграл по пространственным переменным от плотности лагранжиана. Однако в последнее время плотность лагранжиана \mathcal{L} часто называют просто лагранжианом; это полезно в релятивистских теориях, поскольку он определён локально. Оба определения лагранжиана можно получить в специальных случаях общего определения, зависящих от того, включены пространственные переменные \vec x в индекс i или в параметры s в \varphi_i(s). Квантовые теории поля в физике элементарных частиц, такие как квантовая электродинамика, обычно описываются в терминах \mathcal{L}. Эта форма удобна, так как быстро переводится в правила, используемые для оценки диаграмм Фейнмана.

Электромагнитный лагранжиан

В общем случае лагранжиан в лагранжевой механике равен

L = TV

где T — кинетическая энергия и V — потенциальная энергия. Для заряженной частицы с массой m, зарядом q и скоростью v, находящейся в электромагнитном поле со скалярным потенциалом φ и векторным потенциалом A, кинетическая энергия задаётся выражением

T = {1 \over 2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v},

а потенциальная энергия:

V = q\phi - {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}

где cскорость света. Тогда электромагнитный лагранжиан запишется в виде

L = {1 \over 2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} - q\phi + {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} .

Лагранжиан квантовой теории поля

Лагранжиан квантовой электродинамики

Плотность лагранжиана для КЭД

\mathcal{L} = \bar \psi (i \not \!\, D - m) \psi - {1 \over 4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}

где ψ — биспинор, \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0 — его дираковское сопряжение, Fμν — тензор электромагнитного поля, D — калибровочная ковариантная производная, и \not \!\, D — обозначение Фейнмана для γσDσ.

Лагранжиан Дирака

Плотность лагранжиана для дираковского поля

\mathcal{L} = \bar \psi (i \not \! \; \partial - m) \psi.

Лагранжиан квантовой хромодинамики

Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики [1] [2] [3]

\mathcal{L} = -{1\over 4} F^\alpha {}_{\mu\nu} F_\alpha {}^{\mu\nu} - \sum_n \bar \psi_n (\not\!\, D_\mu + m_n) \psi_n

где Dμ — калибровочная ковариантная производная КХД, и Fαμν — тензор напряжённости глюонного поля.


Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home