Парадокс Монти Холла

Эта статья в настоящее время перерабатывается
Во избежание столкновений правок, согласуйте свои внесения с активным редактором.
Это замечание не должно висеть дольше недели.

Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Задача формулируется как описание гипотетической игры, основанной на американском телешоу «Let's Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространенная формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 3, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 1, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор ?


Хотя данная формулировка задачи является наиболее известной, она несколько проблематична, поскольку оставляет некоторые важные условия задачи неопределенными. Ниже приводится более полная формулировка.

При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: после того, как ведущий открыл дверь, за которой находится коза, автомобиль может быть только за одной из двух оставшихся дверей. Поскольку игрок не может получить никакой дополнительной информации о том, за какой дверью находится автомобиль, то вероятность нахождения автомобиля за каждой из дверей одинакова, и изменение первоначального выбора двери не дает игроку никаких преимуществ. Однако такой ход рассуждений неверен. Если ведущий всегда знает, за какой дверью что находится, всегда открывает ту из оставшихся дверей, за которой находится коза, и всегда предлагает игроку изменить свой выбор, то вероятность того, что автомобиль находится за выбранной игроком дверью, равна 1/3, и, соответственно, вероятность того, что автомобиль находится за оставшейся дверью, равна 2/3. Таким образом, изменение первоначального выбора увеличивает шансы игрока выиграть автомобиль в 2 раза. Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей, поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла.

Объяснение

Объясняется это следующим образом. Когда игрок сделал свой первоначальный выбор, то вероятность выигрыша автомобиля составляет 1/3. Шансы на то, что машина находится за одной из двух других дверей — 2/3. Когда ведущий открывает одну из них, он показывает, что за ней нет автомобиля, и тогда все эти 2/3 оказываются сосредоточены за одной, оставшейся закрытой дверью и выгодней становится выбрать именно её.

Или, другими словами, если стратегия игрока — сохранить свой первоначальный выбор, то вероятность выигрыша автомобиля составляет 1/3, если стратегия игрока — поменять дверь, то он проигрывает только в случае, если первоначально дверь была выбрана правильно, то есть с вероятностью 1/3. Значит, во втором случае, игрок выигрывает автомобиль с вероятностью 2/3.

В нижеследующей таблице представлены возможные случаи. Для простоты рассмотрены только варианты, когда машина скрывается за первой дверью, поскольку остальные варианты идентичны. Видно, что игрок, который всегда меняет свой выбор, проигрывает только в том случае, если первоначально он указал на дверь, за которой находится машина, т. е. лишь в одном случае из трёх.

Положение объектов Первое указание игрока (вероятность) Дверь, открытая ведущим (вероятность) Результат при сохранении выбора Результат при смене выбора Итоговая вероятность
1-я дверь 2-я дверь 3-я дверь
Машина Козёл Козёл 1-я дверь (1/3) 2-я дверь (1/2) Выигрыш Проигрыш 1/3 × 1/2 = 1/6
3-я дверь (1/2) Выигрыш Проигрыш 1/3 × 1/2 = 1/6
2-я дверь (1/3) 3-я дверь (1) Проигрыш Выигрыш 1/3 × 1 = 1/3
3-я дверь (1/3) 2-я дверь (1) Проигрыш Выигрыш 1/3 × 1 = 1/3


Вероятность выиграть для игрока, всегда меняющего своё решение: 1/3 + 1/3 = 2/3.

Вероятность выиграть для игрока, всегда сохраняющего своё решение: 1/6 + 1/6 = 1/3.

Парадокс

Несмотря на простоту объяснения этого явления, множество людей, включая даже великих специалистов в области теории вероятностей, интуитивно полагали, что вероятность выигрыша не изменяется при смене игроком двери. Именно из-за такого противоречия интуиции, данная загадка носит также название парадокса Монти Холла.

Возможно, это связано с тем, что обычно теория вероятностей имеет дело с независимыми событиями, то есть такими, вероятность которых не зависит от предыстории. Например, сколько бы раз не выпал орёл при бросании монеты, при следующем подбрасывании вероятность, что опять выпадет орёл всё-равно будет 1/2. Однако, существуют игры, в которых вероятность выпадения того или иного результата зависит от предыстории и в этом случае её нельзя игнорировать. Например, игрок в блэк-джек, который следит за тем, какие карты вышли, а какие остались в колоде, может сильно повысить свои шансы на выигрыш.

В случае загадки Монти Холла первый выбор игрока разделяет двери на две группы (из одной двери и из двух) с разными вероятностями нахождения автомобиля в этих группах. Затем ведущий оставляет в каждой из этих групп по одной двери, открывая те, за которыми заведомо нет приза. В итоге, игра сводится к выбору из двух дверей, однако, из предыстории известно, что вероятность нахождения за ними приза не одинаковая.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home