Интерполяция

Интерполя́ция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией кривой. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, т.е. интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса-Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.

Содержание

Определения

Пусть имеется n значений xi, каждому из которых соответствует своё значение yi. Требуется найти такую функцию F, что:

F(x_i) = y_i \mbox{ , } i=1,\ldots,n\,\!

При этом:

  • xi называют узлами интерполяции
  • пары (xi , yi) называют точками данных
  • разницу между «соседними» значениями xi-xi-1 — шагом
  • функцию F (x) — интерполирующей функцией или интерполянтом.

Способы интерполяции

Интерполяция функции одной переменной

Обратное интерполирование (вычисление x при заданном y

  • Полином Лагранжа
  • обратное интерполирование по формуле Ньютона
  • Обратное интерполирование по формуле Гаусса

Интерполяция функции двух (и более) переменных

Смежные концепции

  • Экстраполяция - методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
  • Аппроксимация - методы построения приближённых кривых
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home