Характеристическая функция случайной величины

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению).

Содержание

Определение

Пусть есть случайная величина X с распределением \mathbb{P}^X. Тогда характеристическая функция задаётся формулой:

\phi_X(t) = \mathbb{E} \left[e^{itX}\right].

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, \mathbb{P}^X(dx),

то есть характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина X принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве \mathcal{H}, то её характеристическая функция имеет вид:

\phi_{X}(t) = \mathbb{E}\left[e^{i \langle t, X \rangle }\right],\; \forall t \in \mathcal{H},

где \langle \cdot, \cdot \rangle обозначает скалярное произведение в \mathcal{H}.

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины

Если случайная величина X дискретна, то есть \mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots, то

\phi_X(t) = \sum_{i=1}^{\infty} e^{itx_i}\, p_i.

Пример. Пусть X имеет распределение Бернулли. Тогда

\phi_X(t) = e^{it \cdot 1} \cdot p + e^{it \cdot 0} \cdot q = p e^{it} + q.

Если случайная величина X абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность fX(x), то

\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, f_X(x)\, dx.

Пример. Пусть X \sim U[0,1] имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

\phi_X(t) = \int\limits_{0}^{1} e^{itx} \cdot 1\, dx = \left.\frac{e^{itx}}{it}\right\vert_0^1 = \frac{e^{it}-1}{it}.

Cвойства характеристических функций

  • Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть X,Y суть две случайные величины, и \phi_X(t) = \phi_Y(t),\; \forall t. Тогда \mathbb{P}^X = \mathbb{P}^Y. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт сопадение функций вероятности.
  • Характеристическая функция всегда ограничена:
|\phi_X(t)| \leq 1.
  • Характеристическая функция в нуле равна единице:
φX(0) = 1.
  • Характеристическая функция всегда непрерывна: \phi_X \in C(\mathbb{R}).
  • Характеристическая функция как функция случайно величины однородна:
\phi_{aX}(t) = \phi_X(at),\; \forall a \in \mathbb{R}.
  • Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть X_1,\ldots, X_n суть независимые случайные величины. Обозначим S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i. Тогда
\phi_{S_n}(t) = \prod\limits_{i=1}^n \phi_{X_i}(t).

Вычисление моментов

Если случайная величина X имеет конечный n-ый момент, то характеристическая функция имеет непрерывную nпроизводную, то есть \phi_X \in C^n(\mathbb{R}), и более того:

\mathbb{E}\left[X^n\right] = -i^n \left. \frac{d^n}{dt^n}\phi_X(t)\right\vert_{t=0}.

Обратное преобразование Фурье

Пусть дана случайная величина X, чья характеристическая функция — φX(t). Тогда

  • если X дискретна и принимает целые значения, то
\mathbb{P}(X = k) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-itk}\, \phi_X(t)\, dt, \; k \in \mathbb{Z};
  • если X абсолютно непрерывна, и fX(x) — её плотность, то
f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-itx}\, \phi_X(t)\, dt,\; x \in \mathbb{R}.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home