Компактное пространство

Компа́ктное простра́нство — это такое топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

В топологии, компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

Содержание

Связанные определения

Подмножество топологического пространства, являющееся в индуцированной топологии компактным пространством, называется компактным множеством или компактом. Множество называется относительно компактным или предкомпактным, если его замыкание компактно.

Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Свойства

Анекдот


Математик говорит девушке:
— Вы такая компактная…
Девушка наивно уточняет:
— В смысле, стройная и миниатюрная?
— Нет. Замкнутая и ограниченная!

  • Свойства компактных метрических пространств:
    • Для конечномерных евклидовых пространств подпространство компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне-Бореля.
    • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
    • Лемма Лебега: Для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия \{V_\alpha\},\ \alpha\in A существует положительное число \,\! r такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше \,\! r, содержится в одном из множеств \,\! V_\alpha. Такое число \,\! r называется числом Лебега.
    • В компактных пространствах каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
    • В компактных пространствах каждое семейство открытых множетсв, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение.
    • Теорема Больцано — Вейерштрасса: компактное пространство является секвенциально компактным, то есть из любой последовательности в компактном пространстве можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Примеры компактных множеств

  • замкнутые и ограниченные множества в \mathbb{R}^n
  • конечные подмножества в пространствах, удовлетворяющих аксиоме отделимости T1
  • теорема Асколи-Арцела даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство C(X) вещественных функций на метрическом компактном пространстве X с нормой \|f\|=\sup_x |f(x)|. Тогда замыкание множества функций F в C(X) компактно тогда и только тогда, когда F равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
  • пространство Стоуна булевых алгебр
  • компактификация топологического пространства

История

Бикомпактное пространство — термин, введённый П. С. Александровым как усиление введённого М. Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие. Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.

Литература

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home