Собственные вектора, значения и пространства

Определение собственного числа и собственного вектора квадратной матрицы

Собственным вектором квадратной матрицы M называется вектор \vec v, который удовлетворяет соотношению M \vec v = \lambda \vec v, где λсобственное значение, соответствующее данному собственному вектору. Одному собственному значению может соответствовать несколько (линейно независимых) собственных векторов, в таком случае говорят о собственном подпространстве для данного собственного значения. Собственными векторами линейного преобразования называются собственные вектора матрицы, определяющей это преобразование.

Свойства собственных векторов и значений

  • Линейная комбинация собственных векторов матрицы M, соответствующих одному и тому же собственному значению λ, также является собственным вектором M с собственным значением λ.
  • Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.
  • Сумма размерностей собственных подпространств, соответствующих всем собственным значениям равна размерности матрицы (в случае рассмотрения комплексных чисел).

Вычисление собственных векторов и значений методом прямых итераций

Самым простым способом численного нахождения собственных значений и собственных значений является метод прямых итераций. Он заключается в построении последовательности векторов \vec v_0,M \vec v_0, MM \vec v_0,MMM \vec v_0 и т. д., то есть в многократном домножении случайного ненулевого начального вектора v0 на матрицу M. Можно доказать, что если вектор M \vec v_0 имеет ненулевые проекции на все собственные вектора M (случайное взятие координат \vec v_0 гарантирует это с почти единичной вероятностью), то такой итеративный процесс сойдётся к собственному вектору \vec v, соответствующему максимальному собственному значению λmax. Вычисление остальных собственных значений возможно с помощью вычитания проекции очередного вектора итераций на подпространство из уже полученных векторов.

Недостаток этого метода заключается в том, что он не работает на матрицах, у которых совпадает абсолютная величина каких-то двух собственных значений. Например, таким образом невозможно найти ни одного собственного вектора дискретного косинусного преобразования: так как оно является обратным по отношению к самому себе, то повторное его применение к случайному вектору приведёт к заведомо расходящейся последовательности, состоящей из двух чередующихся векторов.


 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home